与えられた式を計算して、その値を求める問題です。式は以下の通りです。 $\log_2{3} \cdot \frac{\log_2{25}}{\log_2{9}} \cdot \frac{\log_2{7}}{\log_2{5}} \cdot \frac{\log_2{16}}{\log_2{49}}$

1. 問題の内容

与えられた式を計算して、その値を求める問題です。式は以下の通りです。

$\log_2{3} \cdot \frac{\log_2{25}}{\log_2{9}} \cdot \frac{\log_2{7}}{\log_2{5}} \cdot \frac{\log_2{16}}{\log_2{49}}$

2. 解き方の手順

まず、対数の底の変換公式を使います。底を2に変換する公式は、$\log_a{b} = \frac{\log_c{b}}{\log_c{a}}$ です。今回はすでに底が2なので、この公式を利用して式を整理します。

$\log_2{3} \cdot \frac{\log_2{5^2}}{\log_2{3^2}} \cdot \frac{\log_2{7}}{\log_2{5}} \cdot \frac{\log_2{2^4}}{\log_2{7^2}}$

次に、対数の性質 $\log_a{b^c} = c \cdot \log_a{b}$ を用いて、式を簡略化します。

$\log_2{3} \cdot \frac{2\log_2{5}}{2\log_2{3}} \cdot \frac{\log_2{7}}{\log_2{5}} \cdot \frac{4\log_2{2}}{2\log_2{7}}$

ここで、$\log_2{2} = 1$ であることを利用し、約分できる箇所を約分します。

$\log_2{3} \cdot \frac{\log_2{5}}{\log_2{3}} \cdot \frac{\log_2{7}}{\log_2{5}} \cdot \frac{2}{\log_2{7}}$

$\log_2{3}$、$\log_2{5}$、$\log_2{7}$が約分され、残ったのは2だけです。

3. 最終的な答え

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