$x = 3 + \sqrt{3}$, $y = 3 - \sqrt{3}$ のとき、次の式の値を求めなさい。 (1) $x + y$ (2) $x - y$ (3) $xy$ (4) $x^2 + y^2$ (5) $x^2 - y^2$

1. 問題の内容

$x = 3 + \sqrt{3}$, $y = 3 - \sqrt{3}$ のとき、次の式の値を求めなさい。

(1) $x + y$

(2) $x - y$

(3) $xy$

(4) $x^2 + y^2$

(5) $x^2 - y^2$

2. 解き方の手順

(1) $x + y = (3 + \sqrt{3}) + (3 - \sqrt{3}) = 3 + \sqrt{3} + 3 - \sqrt{3} = 6$

(2) $x - y = (3 + \sqrt{3}) - (3 - \sqrt{3}) = 3 + \sqrt{3} - 3 + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

(3) $xy = (3 + \sqrt{3})(3 - \sqrt{3}) = 3^2 - (\sqrt{3})^2 = 9 - 3 = 6$

(4) $x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = 6^2 - 2(6) = 36 - 12 = 24$

(5) $x^2 - y^2 = (x + y)(x - y) = 6(2\sqrt{3}) = 12\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $x + y = 6$

(2) $x - y = 2\sqrt{3}$

(3) $xy = 6$

(4) $x^2 + y^2 = 24$

(5) $x^2 - y^2 = 12\sqrt{3}$