2次関数 $y = 2x^2 + 4ax$ ($0 \leq x \leq 2$) について、最小値とそのときの $x$ の値を求め、次に最大値とそのときの $x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = 2x^2 + 4ax$ ($0 \leq x \leq 2$) について、最小値とそのときの $x$ の値を求め、次に最大値とそのときの $x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 最小値を求める手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = 2x^2 + 4ax = 2(x^2 + 2ax) = 2((x+a)^2 - a^2) = 2(x+a)^2 - 2a^2$

軸は $x = -a$ であり、この軸の位置によって最小値をとる $x$ の値が変わります。

(i) $a > 0$ のとき:

軸 $x=-a$ が $x < 0$ にあるので、区間 $0 \leq x \leq 2$ で最小値をとるのは $x = 0$ のときです。

$x=0$ のとき $y = 2(0+a)^2 - 2a^2 = 0$

(ii) $0 \leq -a \leq 2$ つまり $-2 \leq a \leq 0$ のとき:

軸 $x=-a$ が区間 $0 \leq x \leq 2$ 内にあるので、最小値をとるのは $x = -a$ のときです。

$x = -a$ のとき $y = -2a^2$

(iii) $-a > 2$ つまり $a < -2$ のとき:

軸 $x=-a$ が $x > 2$ にあるので、区間 $0 \leq x \leq 2$ で最小値をとるのは $x = 2$ のときです。

$x = 2$ のとき $y = 2(2+a)^2 - 2a^2 = 2(4+4a+a^2) - 2a^2 = 8 + 8a + 2a^2 - 2a^2 = 8 + 8a$

(2) 最大値を求める手順

$y = 2(x+a)^2 - 2a^2$において、放物線の軸は $x=-a$です。

最大値を考える際には、軸が定義域の中央の値に近いほど、最大値は端点において実現されます。

場合分けについては、紙面が見切れている部分があり不明瞭なため、解くことができません。

3. 最終的な答え

最小値について:

* $a > 0$ のとき、最小値は $0$ ($x = 0$)

* $-2 \leq a \leq 0$ のとき、最小値は $-2a^2$ ($x = -a$)

* $a < -2$ のとき、最小値は $8 + 8a$ ($x = 2$)

最大値については、問題文が不完全なため、回答できません。