与えられた4つの対称行列 A, B, C, D の定値性を判定する問題です。各行列の (1,1) 成分と行列式から固有値の符号を判断し、その結果に基づいて行列の定値性を判定し、2次形式 $x^T A x$, $x^T B x$, $x^T C x$, $x^T D x$ の符号を判定します。

1. 問題の内容

与えられた4つの対称行列 A, B, C, D の定値性を判定する問題です。各行列の (1,1) 成分と行列式から固有値の符号を判断し、その結果に基づいて行列の定値性を判定し、2次形式 $x^T A x$, $x^T B x$, $x^T C x$, $x^T D x$ の符号を判定します。

2. 解き方の手順

* 行列 A について:

* (1,1) 成分は -3 です。

* 行列式 $|A| = (-3) * (-6) - (2 * 2) = 18 - 4 = 14$ です。

* (1,1) 成分が負、行列式が正なので、固有値は負と正になります。

* したがって、A は不定値行列です。

* 2次形式 $x^T A x$ の符号は不定です。

* 行列 B について:

* (1,1) 成分は 3 です。

* 行列式 $|B| = (3 * 3) - (3 * 3) = 9 - 9 = 0$ です。

* (1,1) 成分が正、行列式がゼロなので、固有値は正とゼロになります。

* したがって、B は半正定値行列です。

* 2次形式 $x^T B x$ の符号は非負です。

* 行列 C について:

* (1,1) 成分は 4 です。

* 行列式 $|C| = (4 * -7) - (-2 * -2) = -28 - 4 = -32$ です。

* (1,1) 成分が正、行列式が負なので、固有値は正と負になります。

* したがって、C は不定値行列です。

* 2次形式 $x^T C x$ の符号は不定です。

* 行列 D について:

* (1,1) 成分は 8 です。

* 行列式 $|D| = (8 * 3) - (6 * 6) = 24 - 36 = -12$ です。

* (1,1) 成分が正、行列式が負なので、固有値は正と負になります。

* したがって、D は不定値行列です。

* 2次形式 $x^T D x$ の符号は不定です。

3. 最終的な答え

* Aの (1,1) 成分は-3, |A|は 14 であるから、これらの符号よりAの固有値は正と負 よって、Aは不定値であり、2次形式x'Ax の符号は不定。

* Bの (1,1) 成分は3, |B|は 0 であるから、これらの符号よりBの固有値は正とゼロ よって、Bは半正定値であり、2次形式 x'Bx の符号は非負。

* Cの (1,1) 成分は4, |C|は -32 であるから、これらの符号よりCの固有値は正と負 よって、Cは不定値であり、2次形式x'Cx の符号は不定。

* Dの (1,1) 成分は8、|D|は -12 であるから、これらの符号よりの固有値は正と負 よって、Dは不定値であり、2次形式x'Dx の符号は不定。