3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 24 = 0$ が $x=2$ と $x=3$ を解に持つとき、定数 $a, b$ の値と他の解を求めよ。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 24 = 0$ が $x=2$ と $x=3$ を解に持つとき、定数 $a, b$ の値と他の解を求めよ。

2. 解き方の手順

$x=2$ と $x=3$ が解であるから、与えられた方程式にそれぞれ代入すると、次の2つの式が得られます。

$2^3 + a(2^2) + b(2) + 24 = 0$

$3^3 + a(3^2) + b(3) + 24 = 0$

これらを整理すると、

$8 + 4a + 2b + 24 = 0$

$27 + 9a + 3b + 24 = 0$

さらに整理すると、

$4a + 2b = -32$

$9a + 3b = -51$

この連立方程式を解くために、1つ目の式を2で割ると、

$2a + b = -16$

となり、これから $b = -16 - 2a$ を得ます。

この式を2つ目の式に代入すると、

$9a + 3(-16 - 2a) = -51$

$9a - 48 - 6a = -51$

$3a = -3$

$a = -1$

$a = -1$ を $b = -16 - 2a$ に代入すると、

$b = -16 - 2(-1) = -16 + 2 = -14$

したがって、$a = -1, b = -14$ となります。

与えられた3次方程式は、$x^3 - x^2 - 14x + 24 = 0$ となります。

$x=2$と$x=3$が解なので、$x^3 - x^2 - 14x + 24$ は $(x-2)(x-3)$ で割り切れます。

$(x-2)(x-3) = x^2 - 5x + 6$ であるから、$x^3 - x^2 - 14x + 24$ を $x^2 - 5x + 6$ で割ると、

$x^3 - x^2 - 14x + 24 = (x^2 - 5x + 6)(x+4)$

したがって、$x^3 - x^2 - 14x + 24 = (x-2)(x-3)(x+4) = 0$

他の解は $x = -4$

3. 最終的な答え

$a = -1$

$b = -14$

他の解: $-4$