二つの不等式 $ \frac{x+3}{2} - \frac{2x-3}{3} < 3 $ と $ 2(x-1) \leq a - x $ を同時に満たす整数 $x$ がちょうど4個であるとき、定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

二つの不等式 $\frac{x+3}{2} - \frac{2x-3}{3} < 3$ と $2(x-1) \leq a - x$ を同時に満たす整数 $x$ がちょうど4個であるとき、定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの不等式を解きます。

不等式1:

$\frac{x+3}{2} - \frac{2x-3}{3} < 3$

両辺に6をかけて、

$3(x+3) - 2(2x-3) < 18$

$3x + 9 - 4x + 6 < 18$

$-x + 15 < 18$

$-x < 3$

$x > -3$

不等式2:

$2(x-1) \leq a - x$

$2x - 2 \leq a - x$

$3x \leq a + 2$

$x \leq \frac{a+2}{3}$

したがって、二つの不等式を同時に満たす $x$ は $-3 < x \leq \frac{a+2}{3}$ となります。

この範囲に整数がちょうど4個含まれるためには、整数 $-2, -1, 0, 1$ が含まれていなければなりません。

したがって、

$1 \leq \frac{a+2}{3} < 2$

である必要があります。しかし、問題文は不等号に=がついているので、上限が変わります。

整数 $-2, -1, 0, 1$ が含まれて、$2$が含まれないためには、

$1 < \frac{a+2}{3} \leq 2$

である必要があります。

$3 < a+2 \leq 6$

$1 < a \leq 4$

整数 $-2, -1, 0, 1$ が含まれ、$1$が含まれるということは

$1 \le \frac{a+2}{3}$が必要です。

整数 $-2, -1, 0, 1, 2$ が含まれてはならないので、

$\frac{a+2}{3} < 2$

である必要があります。

$\frac{a+2}{3} = 2$のとき、$x=2$も含まれてしまうため条件を満たしません。

$-3 < x \le \frac{a+2}{3}$に含まれる整数が4個なので、

$-2, -1, 0, 1$の4個です。

$1 < \frac{a+2}{3} \le 2$ では条件を満たしません。

$2 < \frac{a+2}{3} \le 3$の場合、含まれる整数は、$-2, -1, 0, 1, 2$となり5個になってしまうため、条件を満たしません。

したがって$x \le \frac{a+2}{3}$を満たす最大の整数は、$1$でなければいけません。

$1 \le \frac{a+2}{3} < 2$

$3 \le a+2 < 6$

$1 \le a < 4$

3. 最終的な答え

$1 \leq a < 4$