次の和を求めます。 $1\cdot 1 + 3\cdot 4 + 5\cdot 7 + \cdots + (2n-1)(3n-2)$

1. 問題の内容

次の和を求めます。

$1\cdot 1 + 3\cdot 4 + 5\cdot 7 + \cdots + (2n-1)(3n-2)$

2. 解き方の手順

この数列の一般項は $a_k = (2k-1)(3k-2)$ です。

したがって、求める和は

$\sum_{k=1}^{n} (2k-1)(3k-2)$

となります。

この式を展開すると、

$\sum_{k=1}^{n} (6k^2 - 7k + 2)$

となります。

$\sum$ の性質より、

$6\sum_{k=1}^{n} k^2 - 7\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 2$

となります。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$, $\sum_{k=1}^{n} 2 = 2n$

より、

$6 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 7 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + 2n$

$= n(n+1)(2n+1) - \frac{7}{2}n(n+1) + 2n$

$= n \left[ (n+1)(2n+1) - \frac{7}{2}(n+1) + 2 \right]$

$= n \left[ 2n^2 + 3n + 1 - \frac{7}{2}n - \frac{7}{2} + 2 \right]$

$= n \left[ 2n^2 - \frac{1}{2}n - \frac{1}{2} \right]$

$= \frac{n}{2} (4n^2 - n - 1)$

$= \frac{n(4n^2 - n - 1)}{2}$

$= \frac{n(4n+3)(n-1)}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(4n^2 - n - 1)}{2}$ もしくは $\frac{n(n-1)(4n+3)}{2}$