数列 $\{a_n\}$ が与えられています。 (1) 一般項 $a_n$ を求めます。 (2) 初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めます。 (3) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k}$ を求めます。 (4) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{S_k}$ を求めます。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられています。

(1) 一般項 $a_n$ を求めます。

(2) 初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めます。

(3) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k}$ を求めます。

(4) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{S_k}$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 数列 $\{a_n\}$ の初項からの差を計算すると、4, 6, 8, 10, 12,... となり、階差数列が等差数列になっていることがわかります。したがって、$n \geq 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (4 + 2(k-1)) = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k+2) = 2 + 2\sum_{k=1}^{n-1} (k+1) = 2 + 2(\frac{(n-1)n}{2} + (n-1)) = 2 + (n-1)n + 2(n-1) = 2 + n^2 - n + 2n - 2 = n^2 + n = n(n+1)$

$n=1$ のとき、$a_1 = 1(1+1) = 2$ なので、$n=1$ でも成立します。

(2) $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} k(k+1) = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + k) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1) + 3n(n+1)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+4)}{6} = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

(3) $\frac{1}{a_k} = \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$ なので、

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k} = \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}) = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + ... + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$

(4) $S_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$ なので、$\frac{1}{S_n} = \frac{3}{n(n+1)(n+2)} = \frac{3}{2} (\frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)}) + \frac{1}{(n+1)} - \frac{1}{n+2}$.

$\frac{1}{S_n} = \frac{3}{n(n+1)(n+2)} = \frac{A}{n(n+1)} + \frac{B}{n(n+2)}$

3 = $\frac{2}{n(n+1)(n+2)}$

$\sum_{k=1}^n \frac{1}{S_k} = \sum_{k=1}^n \frac{3}{k(k+1)(k+2)} = \frac{3}{2} \sum_{k=1}^n (\frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)}) = \frac{3}{2} \left( \frac{1}{1\cdot2} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right) = \frac{3}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right) = \frac{3}{4} - \frac{3}{2(n+1)(n+2)} = \frac{3(n+1)(n+2)-6}{4(n+1)(n+2)} = \frac{3(n^2+3n+2)-6}{4(n+1)(n+2)} = \frac{3n^2+9n}{4(n+1)(n+2)} = \frac{3n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = n(n+1)$

(2) $S_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

(3) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k} = \frac{n}{n+1}$

(4) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{S_k} = \frac{3n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$