放物線 $y = x^2 - 4x + 3$ を、(1) $y$軸方向、(2) $x$軸方向にそれぞれ平行移動して原点を通るようにした放物線の方程式を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 4x + 3$ を、(1) $y$軸方向、(2) $x$軸方向にそれぞれ平行移動して原点を通るようにした放物線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) $y$軸方向に平行移動する場合、放物線は $y = x^2 - 4x + 3 + k$ と表せる。これが原点$(0, 0)$を通るから、

$0 = 0^2 - 4(0) + 3 + k$

$0 = 3 + k$

$k = -3$

したがって、求める放物線の方程式は $y = x^2 - 4x + 3 - 3$ より、

$y = x^2 - 4x$

(2) $x$軸方向に平行移動する場合、放物線は $y = (x - p)^2 - 4(x - p) + 3$ と表せる。これが原点$(0, 0)$を通るから、

$0 = (0 - p)^2 - 4(0 - p) + 3$

$0 = p^2 + 4p + 3$

$0 = (p + 1)(p + 3)$

$p = -1, -3$

$p=-1$のとき、

$y = (x + 1)^2 - 4(x + 1) + 3$

$y = x^2 + 2x + 1 - 4x - 4 + 3$

$y = x^2 - 2x$

$p=-3$のとき、

$y = (x + 3)^2 - 4(x + 3) + 3$

$y = x^2 + 6x + 9 - 4x - 12 + 3$

$y = x^2 + 2x$

3. 最終的な答え

(1) $y$軸方向：$y = x^2 - 4x$

(2) $x$軸方向：$y = x^2 - 2x$ または $y = x^2 + 2x$