問題は、$\frac{1}{5^n} = \frac{3}{n(n+1)(n+2)} = (\frac{A}{n(n+1)} + \frac{B}{(n+1)(n+2)}) \cdot 3$ が与えられたとき、$A$と$B$の値を求める問題です。ただし、$5^n$ の項は、この問題において不要であると判断できます。

1. 問題の内容

問題は、$\frac{1}{5^n} = \frac{3}{n(n+1)(n+2)} = (\frac{A}{n(n+1)} + \frac{B}{(n+1)(n+2)}) \cdot 3$ が与えられたとき、$A$と$B$の値を求める問題です。ただし、$5^n$ の項は、この問題において不要であると判断できます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式 $\frac{3}{n(n+1)(n+2)} = (\frac{A}{n(n+1)} + \frac{B}{(n+1)(n+2)}) \cdot 3$ から、両辺を3で割ることで、次の式を得ます。

$\frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{A}{n(n+1)} + \frac{B}{(n+1)(n+2)}$

右辺を通分します。

$\frac{A}{n(n+1)} + \frac{B}{(n+1)(n+2)} = \frac{A(n+2) + Bn}{n(n+1)(n+2)} = \frac{An + 2A + Bn}{n(n+1)(n+2)} = \frac{(A+B)n + 2A}{n(n+1)(n+2)}$

したがって、$\frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{(A+B)n + 2A}{n(n+1)(n+2)}$となります。

分母が等しいので、分子も等しくなければなりません。つまり、

$1 = (A+B)n + 2A$

この等式が任意の$n$に対して成立するためには、$n$の係数が0でなければなりません。したがって、$A+B=0$となります。

また、定数項は1に等しくなければなりません。したがって、$2A = 1$となります。

これらの2つの式から、$A$と$B$の値を求めることができます。

$2A = 1$ より、 $A = \frac{1}{2}$

$A+B = 0$ より、 $\frac{1}{2} + B = 0$ よって、$B = -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$A = \frac{1}{2}$

$B = -\frac{1}{2}$