問題は、2次関数 $y = x^2 + 2mx + 3m$ の最小値を $k$ とするとき、 (1) $k$ を $m$ の式で表す。 (2) $k$ が -4 であるとき、$m$ の値を求める。 (3) $k$ の値を最大にする $m$ の値と、$k$ の最大値を求める。

1. 問題の内容

問題は、2次関数 $y = x^2 + 2mx + 3m$ の最小値を $k$ とするとき、

(1) $k$ を $m$ の式で表す。

(2) $k$ が -4 であるとき、$m$ の値を求める。

(3) $k$ の値を最大にする $m$ の値と、$k$ の最大値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 + 2mx + 3m$ を平方完成させる。

$y = (x+m)^2 - m^2 + 3m$

最小値 $k$ は、$k = -m^2 + 3m$ となる。

(2) $k = -4$ のとき、$-m^2 + 3m = -4$ を解く。

$-m^2 + 3m + 4 = 0$

$m^2 - 3m - 4 = 0$

$(m-4)(m+1) = 0$

よって、$m = 4, -1$

(3) $k = -m^2 + 3m$ を最大にする $m$ の値を求める。

$k = -(m^2 - 3m)$

$k = -(m - \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4}$

よって、$m = \frac{3}{2}$ のとき、$k$ は最大値 $\frac{9}{4}$ をとる。

3. 最終的な答え

(1) $k = -m^2 + 3m$

(2) $m = 4, -1$

(3) $m = \frac{3}{2}$ のとき、$k$ の最大値は $\frac{9}{4}$