ある放物線を、$x$軸方向に$-2$、$y$軸方向に$-2$だけ平行移動し、さらに原点に関して対称移動すると、放物線 $y = -x^2 + x - 8$ になった。もとの放物線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

ある放物線を、$x$軸方向に$-2$、$y$軸方向に$-2$だけ平行移動し、さらに原点に関して対称移動すると、放物線 $y = -x^2 + x - 8$ になった。もとの放物線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、移動後の放物線の方程式 $y = -x^2 + x - 8$ をもとに、逆の変換を行って元の放物線の方程式を求めます。

(1) 原点に関して対称移動する前の放物線の方程式を求める。

原点に関して対称移動するということは、$x$ を $-x$ に、$y$ を $-y$ に置き換えることです。

したがって、移動前の放物線の方程式は $-y = -(-x)^2 + (-x) - 8$ となります。

これを整理すると、

$-y = -x^2 - x - 8$

$y = x^2 + x + 8$

となります。

(2) 平行移動する前の放物線の方程式を求める。

$x$軸方向に$-2$、$y$軸方向に$-2$だけ平行移動する前の状態に戻すには、$x$軸方向に$2$、$y$軸方向に$2$だけ平行移動すればよいです。

つまり、$x$ を $x-2$ に、$y$ を $y-2$ に置き換えます。

$y - 2 = (x-2)^2 + (x-2) + 8$

$y = (x^2 - 4x + 4) + (x - 2) + 8 + 2$

$y = x^2 - 4x + 4 + x - 2 + 10$

$y = x^2 - 3x + 12$

3. 最終的な答え

もとの放物線の方程式は、$y = x^2 - 3x + 12$ です。