4x4行列Aの行ベクトルがそれぞれ $\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}, \vec{v_4}$ であり、行列式が $\det A = 9$ であるとき、以下の3つの行列式を求めよ。 (1) $\det \begin{bmatrix} \vec{v_1} \\ \vec{v_2} \\ \vec{v_3} \\ 5\vec{v_4} \end{bmatrix}$ (2) $\det \begin{bmatrix} \vec{v_4} \\ \vec{v_3} \\ \vec{v_2} \\ \vec{v_1} \end{bmatrix}$ (3) $\det \begin{bmatrix} \vec{v_1} \\ \vec{v_2} \\ \vec{v_3} + 2\vec{v_4} \\ \vec{v_4} \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

4x4行列Aの行ベクトルがそれぞれ $\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}, \vec{v_4}$ であり、行列式が $\det A = 9$ であるとき、以下の3つの行列式を求めよ。

(1) $\det \begin{bmatrix} \vec{v_1} \\ \vec{v_2} \\ \vec{v_3} \\ 5\vec{v_4} \end{bmatrix}$

(2) $\det \begin{bmatrix} \vec{v_4} \\ \vec{v_3} \\ \vec{v_2} \\ \vec{v_1} \end{bmatrix}$

(3) $\det \begin{bmatrix} \vec{v_1} \\ \vec{v_2} \\ \vec{v_3} + 2\vec{v_4} \\ \vec{v_4} \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) 行列式は、ある行を定数倍すると、行列式も同じ倍数になる性質があります。したがって、

$\det \begin{bmatrix} \vec{v_1} \\ \vec{v_2} \\ \vec{v_3} \\ 5\vec{v_4} \end{bmatrix} = 5 \det \begin{bmatrix} \vec{v_1} \\ \vec{v_2} \\ \vec{v_3} \\ \vec{v_4} \end{bmatrix} = 5 \det A = 5 \times 9 = 45$

(2) 行を入れ替えると、行列式の符号が変わります。

$\det \begin{bmatrix} \vec{v_4} \\ \vec{v_3} \\ \vec{v_2} \\ \vec{v_1} \end{bmatrix}$ を $\det \begin{bmatrix} \vec{v_1} \\ \vec{v_2} \\ \vec{v_3} \\ \vec{v_4} \end{bmatrix}$ にするために、以下の操作を行います。

$\begin{bmatrix} \vec{v_4} \\ \vec{v_3} \\ \vec{v_2} \\ \vec{v_1} \end{bmatrix} \xrightarrow{交換(1,4)} \begin{bmatrix} \vec{v_1} \\ \vec{v_3} \\ \vec{v_2} \\ \vec{v_4} \end{bmatrix} \xrightarrow{交換(2,4)} \begin{bmatrix} \vec{v_1} \\ \vec{v_4} \\ \vec{v_2} \\ \vec{v_3} \end{bmatrix} \xrightarrow{交換(3,4)} \begin{bmatrix} \vec{v_1} \\ \vec{v_2} \\ \vec{v_4} \\ \vec{v_3} \end{bmatrix} \xrightarrow{交換(3,4)} \begin{bmatrix} \vec{v_1} \\ \vec{v_2} \\ \vec{v_3} \\ \vec{v_4} \end{bmatrix}$

4回の交換が必要なので、符号は $(-1)^4 = 1$ となります。

$\det \begin{bmatrix} \vec{v_4} \\ \vec{v_3} \\ \vec{v_2} \\ \vec{v_1} \end{bmatrix} = \det \begin{bmatrix} \vec{v_1} \\ \vec{v_2} \\ \vec{v_3} \\ \vec{v_4} \end{bmatrix} = \det A = 9$

(3) 行列式は、ある行に別の行の定数倍を加えても値が変わらない性質があります。したがって、

$\det \begin{bmatrix} \vec{v_1} \\ \vec{v_2} \\ \vec{v_3} + 2\vec{v_4} \\ \vec{v_4} \end{bmatrix} = \det \begin{bmatrix} \vec{v_1} \\ \vec{v_2} \\ \vec{v_3} \\ \vec{v_4} \end{bmatrix} + \det \begin{bmatrix} \vec{v_1} \\ \vec{v_2} \\ 2\vec{v_4} \\ \vec{v_4} \end{bmatrix} = \det \begin{bmatrix} \vec{v_1} \\ \vec{v_2} \\ \vec{v_3} \\ \vec{v_4} \end{bmatrix} + 0 = \det A = 9$

なぜなら、$\det \begin{bmatrix} \vec{v_1} \\ \vec{v_2} \\ 2\vec{v_4} \\ \vec{v_4} \end{bmatrix} = 0$ となるのは、線形従属な行（この場合は $2\vec{v_4}$ と $\vec{v_4}$）を持つ行列の行列式はゼロになるためです。

3. 最終的な答え

(1) 45

(2) 9

(3) 9