SENSEI AI
About App

行列 $\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}$ の行列式が -1 であるとき、以下の行列式を求めよ。 (1) $\begin{bmatrix} g & h & i \\ a & b & c \\ d & e & f \end{bmatrix}$ (2) $\begin{bmatrix} a & b & c \\ -8d+a & -8e+b & -8f+c \\ g & h & i \end{bmatrix}$ (3) $\begin{bmatrix} -8d+a & -8e+b & -8f+c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}$

代数学行列式行列の性質線形代数
2025/6/24

1. 問題の内容

行列 [abcdefghi]\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} の行列式が -1 であるとき、以下の行列式を求めよ。
(1) [ghiabcdef]\begin{bmatrix} g & h & i \\ a & b & c \\ d & e & f \end{bmatrix}
(2) [abc−8d+a−8e+b−8f+cghi]\begin{bmatrix} a & b & c \\ -8d+a & -8e+b & -8f+c \\ g & h & i \end{bmatrix}
(3) [−8d+a−8e+b−8f+cdefghi]\begin{bmatrix} -8d+a & -8e+b & -8f+c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}

2. 解き方の手順

(1) 行列式[ghiabcdef]\begin{bmatrix} g & h & i \\ a & b & c \\ d & e & f \end{bmatrix}は、行列[abcdefghi]\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}の1行目と3行目を入れ替えることで得られます。
行列の行を1回入れ替えると、行列式の符号が反転します。
したがって、
det⁡[ghiabcdef]=−det⁡[abcghidef] \det \begin{bmatrix} g & h & i \\ a & b & c \\ d & e & f \end{bmatrix} = - \det \begin{bmatrix} a & b & c \\ g & h & i \\ d & e & f \end{bmatrix}
さらに、2行目と3行目を入れ替えると、
−det⁡[abcghidef]=(−1)2det⁡[abcdefghi]=det⁡[abcdefghi]=−1 - \det \begin{bmatrix} a & b & c \\ g & h & i \\ d & e & f \end{bmatrix} = (-1)^2 \det \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} = \det \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} = -1
(2) 行列式[abc−8d+a−8e+b−8f+cghi]\begin{bmatrix} a & b & c \\ -8d+a & -8e+b & -8f+c \\ g & h & i \end{bmatrix}について、2行目を1行目と2行目の線形結合で表します。
行列式の性質より、ある行（または列）に別の行（または列）の定数倍を加算しても、行列式の値は変化しません。
det⁡[abc−8d+a−8e+b−8f+cghi]=det⁡[abcabcghi]+det⁡[abc−8d−8e−8fghi] \det \begin{bmatrix} a & b & c \\ -8d+a & -8e+b & -8f+c \\ g & h & i \end{bmatrix} = \det \begin{bmatrix} a & b & c \\ a & b & c \\ g & h & i \end{bmatrix} + \det \begin{bmatrix} a & b & c \\ -8d & -8e & -8f \\ g & h & i \end{bmatrix}
=det⁡[abcabcghi]−8det⁡[abcdefghi] = \det \begin{bmatrix} a & b & c \\ a & b & c \\ g & h & i \end{bmatrix} -8 \det \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}
1行目と2行目が同じなので、det⁡[abcabcghi]=0\det \begin{bmatrix} a & b & c \\ a & b & c \\ g & h & i \end{bmatrix} = 0
det⁡[abc−8d+a−8e+b−8f+cghi]=−8det⁡[abcdefghi]=−8⋅(−1)=8 \det \begin{bmatrix} a & b & c \\ -8d+a & -8e+b & -8f+c \\ g & h & i \end{bmatrix} = -8 \det \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} = -8 \cdot (-1) = 8
(3) 行列式[−8d+a−8e+b−8f+cdefghi]\begin{bmatrix} -8d+a & -8e+b & -8f+c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}について、1行目を1行目と2行目の線形結合で表します。
行列式の性質より、ある行（または列）に別の行（または列）の定数倍を加算しても、行列式の値は変化しません。
det⁡[−8d+a−8e+b−8f+cdefghi]=det⁡[abcdefghi]+det⁡[−8d−8e−8fdefghi] \det \begin{bmatrix} -8d+a & -8e+b & -8f+c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} = \det \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} + \det \begin{bmatrix} -8d & -8e & -8f \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}
=det⁡[abcdefghi]−8det⁡[defdefghi]= \det \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} - 8 \det \begin{bmatrix} d & e & f \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}
1行目と2行目が同じなので、det⁡[defdefghi]=0\det \begin{bmatrix} d & e & f \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} = 0
det⁡[−8d+a−8e+b−8f+cdefghi]=det⁡[abcdefghi]=−1 \det \begin{bmatrix} -8d+a & -8e+b & -8f+c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} = \det \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} = -1

3. 最終的な答え

(1) -1
(2) 8
(3) -1

「代数学」の関連問題

問題は、次の2つの式をそれぞれ展開して計算することです。 (1) $4a^2b^2(a^3 - 6ab)$ (2) $(a^2 - ab - 3b^2)ab^3$

式の展開多項式指数法則分配法則
2025/6/24

与えられた2つの数式をそれぞれ計算する問題です。 (1) $(x^3y^2)^4 \times (xy^3)^2$ (2) $(-2ab^2)^3 \times (-3a^3b^4)^2$

指数法則式の計算単項式
2025/6/24

4x4行列Aの行ベクトルがそれぞれ $\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}, \vec{v_4}$ であり、行列式が $\det A = 9$ であるとき、以下の3つの行列式...

行列式線形代数行列
2025/6/24

次の計算をせよ。 (1) $(x^2)^3$ (2) $(-3x^3)^4$

指数累乗式の計算
2025/6/24

与えられた2つの計算問題を解く。 (1) $x^2 \times x^4$ (2) $4x^3 \times (-5x^2)$

指数法則単項式の計算代数式
2025/6/24

多項式 $A$, $B$, $C$ が与えられたとき、$2(A+B)-3(B-2C)$ を計算する問題です。 $A = 4x^2 + xy - 2y^2$, $B = -3x^2 + 3xy - 2y...

多項式式の計算展開代入
2025/6/24

与えられた方程式 $\sqrt{x-5} = \sqrt{x+3} - 2$ を解き、$x$ の値を求めます。ただし、$x$ は実数です。

方程式平方根代数
2025/6/24

与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。 行列は次の通りです。 $\begin{vmatrix} 4 & 10 & -3 & -3 \\ 4 & 2 & 6 & 1 \\ 0 & 0 & 1 ...

行列行列式余因子展開線形代数
2025/6/24

問題は、絶対値を含む方程式 $|2x+3| = |3x-2|$ を解くことです。ここで、$x$は実数です。

絶対値方程式一次方程式
2025/6/24

与えられた行列 $A$ の行列式を求めます。 $ A = \begin{bmatrix} 9 & 3 & 0 & 3 \\ 3 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ -7 ...

行列行列式余因子展開
2025/6/24