与えられた行列 $A$ の行列式を求めます。 $ A = \begin{bmatrix} 9 & 3 & 0 & 3 \\ 3 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ -7 & 1 & -1 & -1 \end{bmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ の行列式を求めます。

$A = \begin{bmatrix} 9 & 3 & 0 & 3 \\ 3 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ -7 & 1 & -1 & -1 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、第3列に着目します。第3列には 0, 0, 0, -1 の要素が含まれているため、第3列で余因子展開すると計算が簡単になります。

$det(A) = 0 \cdot C_{13} + 0 \cdot C_{23} + 0 \cdot C_{33} + (-1) \cdot C_{43}$

ここで、$C_{ij}$は$(i, j)$成分の余因子です。

したがって、

$det(A) = -C_{43} = -(-1)^{4+3} M_{43} = M_{43}$

$M_{43}$ は、行列 $A$ から第4行と第3列を取り除いた3x3行列の行列式です。

$M_{43} = \begin{vmatrix} 9 & 3 & 3 \\ 3 & 4 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \end{vmatrix}$

この3x3行列の行列式を計算するために、第3列に着目して余因子展開を行います。

$M_{43} = 3 \cdot C_{13} + 0 \cdot C_{23} + 0 \cdot C_{33} = 3 \cdot (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 0 & -1 \end{vmatrix}$

$M_{43} = 3 \cdot (3 \cdot (-1) - 4 \cdot 0) = 3 \cdot (-3) = -9$

したがって、$det(A) = M_{43} = -9$

3. 最終的な答え

-9