与えられた行列の行列式を元に、別の行列の行列式を求める問題です。具体的には、 $\det \begin{bmatrix} a & 1 & d \\ b & 1 & e \\ c & 1 & f \end{bmatrix} = -4$ $\det \begin{bmatrix} a & 1 & d \\ b & 2 & e \\ c & 3 & f \end{bmatrix} = 2$ のとき、 $\det \begin{bmatrix} a & 9 & d \\ b & 9 & e \\ c & 9 & f \end{bmatrix} = -36$ であり、 $\det \begin{bmatrix} a & -1 & d \\ b & -3 & e \\ c & -5 & f \end{bmatrix}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた行列の行列式を元に、別の行列の行列式を求める問題です。具体的には、

$\det \begin{bmatrix} a & 1 & d \\ b & 1 & e \\ c & 1 & f \end{bmatrix} = -4$

$\det \begin{bmatrix} a & 1 & d \\ b & 2 & e \\ c & 3 & f \end{bmatrix} = 2$

のとき、

$\det \begin{bmatrix} a & 9 & d \\ b & 9 & e \\ c & 9 & f \end{bmatrix} = -36$

であり、

$\det \begin{bmatrix} a & -1 & d \\ b & -3 & e \\ c & -5 & f \end{bmatrix}$

を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、行列式の性質を利用します。

行列の特定の列を定数倍すると、行列式もその定数倍されます。

したがって、

$\det \begin{bmatrix} a & 9 & d \\ b & 9 & e \\ c & 9 & f \end{bmatrix} = 9 \det \begin{bmatrix} a & 1 & d \\ b & 1 & e \\ c & 1 & f \end{bmatrix} = 9 \times (-4) = -36$

が成り立ちます。これは問題文と一致しています。

次に、

$\det \begin{bmatrix} a & -1 & d \\ b & -3 & e \\ c & -5 & f \end{bmatrix}$

について考えます。

$\det \begin{bmatrix} a & 1 & d \\ b & 2 & e \\ c & 3 & f \end{bmatrix} = 2$

$\det \begin{bmatrix} a & 1 & d \\ b & 1 & e \\ c & 1 & f \end{bmatrix} = -4$

を利用するために、与えられた行列を操作します。

$\begin{bmatrix} a & -1 & d \\ b & -3 & e \\ c & -5 & f \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & 1 & d \\ b & 1 & e \\ c & 1 & f \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & -2 & 0 \\ 0 & -4 & 0 \\ 0 & -6 & 0 \end{bmatrix}$

より

$\begin{bmatrix} a & -1 & d \\ b & -3 & e \\ c & -5 & f \end{bmatrix}$

の第2列を $l_2$ とすると、

$l_2 = -l'_2$ (l'_2: $\det \begin{bmatrix} a & 1 & d \\ b & 2 & e \\ c & 3 & f \end{bmatrix}$ の第2列) として

$\det \begin{bmatrix} a & -1 & d \\ b & -3 & e \\ c & -5 & f \end{bmatrix} = \det \begin{bmatrix} a & -1 & d \\ b & -2-1 & e \\ c & -3-2 & f \end{bmatrix}$

$\det \begin{bmatrix} a & 1 & d \\ b & 2 & e \\ c & 3 & f \end{bmatrix} = 2$

$\det \begin{bmatrix} a & 1 & d \\ b & 1 & e \\ c & 1 & f \end{bmatrix} = -4$

なので、行列式の線形性から、

$\det \begin{bmatrix} a & -1 & d \\ b & -3 & e \\ c & -5 & f \end{bmatrix} = (-1) \det \begin{bmatrix} a & 1 & d \\ b & 3 & e \\ c & 5 & f \end{bmatrix}$

$\det \begin{bmatrix} a & 1 & d \\ b & 3 & e \\ c & 5 & f \end{bmatrix} = \det \begin{bmatrix} a & 1 & d \\ b & 2+1 & e \\ c & 3+2 & f \end{bmatrix} = \det \begin{bmatrix} a & 1 & d \\ b & 2 & e \\ c & 3 & f \end{bmatrix} + \det \begin{bmatrix} a & 1 & d \\ b & 1 & e \\ c & 2 & f \end{bmatrix}$

しかし、この方法では解けなさそうです。

$\det \begin{bmatrix} a & -1 & d \\ b & -3 & e \\ c & -5 & f \end{bmatrix}$

$\det \begin{bmatrix} a & 1 & d \\ b & 1 & e \\ c & 1 & f \end{bmatrix} = -4$

$\det \begin{bmatrix} a & 1 & d \\ b & 2 & e \\ c & 3 & f \end{bmatrix} = 2$

第2列に関して、第2列を$x$倍した列を引く操作を行っても、行列式は変わらないことを利用します。

$\begin{vmatrix} a & -1 & d \\ b & -3 & e \\ c & -5 & f \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & 1 & d \\ b & 1 & e \\ c & 1 & f \end{vmatrix} * k + \begin{vmatrix} a & 1 & d \\ b & 2 & e \\ c & 3 & f \end{vmatrix} * l$

$-1 = 1*k + 1*l$

$-3 = 1*k + 2*l$

$-5 = 1*k + 3*l$

２式目－１式目より

$-2 = l$

これを１式目に代入

$-1 = k - 2$

$k = 1$

３式目に代入

$-5 = 1 - 6 = -5$

よって、$\begin{vmatrix} a & -1 & d \\ b & -3 & e \\ c & -5 & f \end{vmatrix} = -4 * 1 + 2 * (-2) = -4 -4 = -8$

3. 最終的な答え

-8