与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。 行列は次の通りです。 $\begin{vmatrix} 4 & 10 & -3 & -3 \\ 4 & 2 & 6 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 10 & 2 & 5 & -7 \end{vmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。

行列は次の通りです。

$\begin{vmatrix} 4 & 10 & -3 & -3 \\ 4 & 2 & 6 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 10 & 2 & 5 & -7 \end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算する際に、3行目に注目すると、要素が一つだけ1で、残りは0であることに気づきます。

この性質を利用して、3行目に関する余因子展開を行うと、計算を大幅に簡略化できます。

行列式を$det(A)$とすると、

$det(A) = \sum_{j=1}^4 a_{3j}C_{3j}$

ここで、$a_{3j}$は3行j列の要素、$C_{3j}$は$a_{3j}$に対する余因子です。

今回の行列では、$a_{31} = 0, a_{32} = 0, a_{33} = 1, a_{34} = 0$なので、

$det(A) = 0 \cdot C_{31} + 0 \cdot C_{32} + 1 \cdot C_{33} + 0 \cdot C_{34} = C_{33}$

したがって、元の行列の行列式は、3行3列目の余因子$C_{33}$に等しくなります。

$C_{33} = (-1)^{3+3}M_{33} = M_{33}$であり、$M_{33}$は小行列式で、元の行列から3行目と3列目を取り除いた3x3行列の行列式です。

$M_{33} = \begin{vmatrix} 4 & 10 & -3 \\ 4 & 2 & 1 \\ 10 & 2 & -7 \end{vmatrix}$

この3x3行列の行列式を計算します。

$M_{33} = 4\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & -7 \end{vmatrix} - 10\begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 10 & -7 \end{vmatrix} + (-3)\begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 10 & 2 \end{vmatrix}$

$= 4(2(-7) - 1(2)) - 10(4(-7) - 1(10)) - 3(4(2) - 2(10))$

$= 4(-14 - 2) - 10(-28 - 10) - 3(8 - 20)$

$= 4(-16) - 10(-38) - 3(-12)$

$= -64 + 380 + 36$

$= 352$

したがって、$det(A) = M_{33} = 352$

3. 最終的な答え

352