問題は以下の2つです。 (1) $a=6$ のとき、$x=$ ア は命題「$p \implies q$」の反例である。アを求めよ。 (2) $a=-1$ のとき、条件「$\overline{p}$ かつ $\overline{q}$」は条件 $r: -5 < x \le 1$ であるための イ 。イを、必要条件であるが十分条件ではない (0)、十分条件であるが必要条件ではない (1)、必要十分条件である (2)、必要条件でも十分条件でもない (3) の中から選べ。

1. 問題の内容

問題は以下の2つです。

(1) $a=6$ のとき、$x=$ ア は命題「$p \implies q$」の反例である。アを求めよ。

(2) $a=-1$ のとき、条件「$\overline{p}$ かつ $\overline{q}$」は条件 $r: -5 < x \le 1$ であるための イ 。イを、必要条件であるが十分条件ではない (0)、十分条件であるが必要条件ではない (1)、必要十分条件である (2)、必要条件でも十分条件でもない (3) の中から選べ。

2. 解き方の手順

(1) 命題「$p \implies q$」の反例は、$p$を満たし、$q$を満たさないものです。

$p$ は $-2 \le x \le 4$ です。

$q$ は $|x-a| > 2$ で、$a=6$ を代入すると $|x-6| > 2$ となります。

これを解くと、$x-6 > 2$ または $x-6 < -2$ となり、$x > 8$ または $x < 4$ です。

$\overline{q}$ は $x \le 8$ かつ $x \ge 4$ つまり $4 \le x \le 8$ です。

$p$ かつ $\overline{q}$ は $-2 \le x \le 4$ かつ $4 \le x \le 8$ となり、$x=4$ です。

したがって、$x=4$ が命題「$p \implies q$」の反例になります。

(2)

$p$ は $-2 \le x \le 4$ です。

$\overline{p}$ は $x < -2$ または $x > 4$ です。

$q$ は $|x-a| > 2$ で、$a=-1$ を代入すると $|x+1| > 2$ となります。

これを解くと、$x+1 > 2$ または $x+1 < -2$ となり、$x > 1$ または $x < -3$ です。

$\overline{q}$ は $-3 \le x \le 1$ です。

$\overline{p}$ かつ $\overline{q}$ は $(x < -2$ または $x > 4)$ かつ $(-3 \le x \le 1)$ となり、$-3 \le x < -2$ または $4 < x \le 1$ となりえないので、 $-3 \le x \le 1$ かつ $(x<-2 または x>4)$となり、$-3 \le x < -2$ となります。

$r$ は $-5 < x \le 1$ です。

$\overline{p}$ かつ $\overline{q}$: $-3 \le x < -2$

$r$: $-5 < x \le 1$

「$\overline{p}$ かつ $\overline{q}$」$\implies r$ は真なので、「$\overline{p}$ かつ $\overline{q}$」は $r$ であるための十分条件です。

$r \implies$「$\overline{p}$ かつ $\overline{q}$」は偽なので、「$\overline{p}$ かつ $\overline{q}$」は $r$ であるための必要条件ではありません。

したがって、「$\overline{p}$ かつ $\overline{q}$」は $r$ であるための十分条件であるが、必要条件ではありません。

3. 最終的な答え

(1) ア：4

(2) イ：1