2次方程式 $-x^2 + 3x - 4 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta}$ の値を求めなさい。

1. 問題の内容

2次方程式 $-x^2 + 3x - 4 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta}$ の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

与えられた2次方程式 $-x^2 + 3x - 4 = 0$ を $x^2 - 3x + 4 = 0$ と変形します。

解と係数の関係より、2つの解 $\alpha$, $\beta$ に対して、

$\alpha + \beta = 3$

$\alpha \beta = 4$

が成り立ちます。

求めたい値は $\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta}$ です。これを変形すると、

$\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha \beta}$

さらに、$\alpha^2 + \beta^2$ は $(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta$ と変形できます。

したがって、

$\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta} = \frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta}{\alpha \beta}$

$\alpha + \beta = 3$ および $\alpha \beta = 4$ を代入すると、

$\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta} = \frac{3^2 - 2 \cdot 4}{4} = \frac{9 - 8}{4} = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4}$