二次方程式 $-x^2 + 2x + 5 = 0$ の2つの解を$\alpha$、$\beta$とするとき、$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

二次方程式 $-x^2 + 2x + 5 = 0$ の2つの解を$\alpha$、$\beta$とするとき、$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次方程式を整理します。

$-x^2 + 2x + 5 = 0$ の両辺に $-1$ を掛けると、

$x^2 - 2x - 5 = 0$

となります。

次に、解と係数の関係を利用します。

二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の2つの解を$\alpha$、$\beta$とすると、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$

$\alpha \beta = \frac{c}{a}$

が成り立ちます。

この問題では、$a=1$、$b=-2$、$c=-5$ であるから、

$\alpha + \beta = -\frac{-2}{1} = 2$

$\alpha \beta = \frac{-5}{1} = -5$

となります。

求めたい値 $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$ を通分すると、

$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\beta + \alpha}{\alpha \beta}$

となります。

$\alpha + \beta = 2$、$\alpha \beta = -5$を代入すると、

$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{2}{-5} = -\frac{2}{5}$

となります。

3. 最終的な答え

$-\frac{2}{5}$