2次方程式 $-2x^2 + 6x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、$\alpha^2 + \beta^2$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $-2x^2 + 6x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、$\alpha^2 + \beta^2$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次方程式 $-2x^2 + 6x + 3 = 0$ を $x^2$ の係数が1になるように変形します。方程式全体を $-2$ で割ると、

$x^2 - 3x - \frac{3}{2} = 0$

となります。

解と係数の関係から、$\alpha + \beta$ と $\alpha\beta$ の値を求めます。

$\alpha + \beta = 3$

$\alpha\beta = -\frac{3}{2}$

次に、$\alpha^2 + \beta^2$ を $(\alpha + \beta)$ と $\alpha\beta$ を用いて表します。

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$

$\alpha + \beta = 3$ と $\alpha\beta = -\frac{3}{2}$ を代入して、

$\alpha^2 + \beta^2 = (3)^2 - 2\left(-\frac{3}{2}\right) = 9 + 3 = 12$

3. 最終的な答え

12