2次関数 $y = -x^2 + ax + b$ ($-2 \le x \le 2$) が $x = -1$ で最大値を取り、最小値が2となるとき、定数 $a$ と $b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -x^2 + ax + b$ ($-2 \le x \le 2$) が $x = -1$ で最大値を取り、最小値が2となるとき、定数 $a$ と $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成する。

$y = -x^2 + ax + b$

$y = -(x^2 - ax) + b$

$y = -\left(x - \frac{a}{2}\right)^2 + \frac{a^2}{4} + b$

この関数は上に凸の放物線であり、$x = -1$ で最大値を取るので、軸は $x = -1$ である。

したがって、

$\frac{a}{2} = -1$

$a = -2$

次に、関数は

$y = -(x + 1)^2 + 1 + b$

となる。$x = -1$ で最大値を取るので、最大値は $1 + b$ である。

定義域は $-2 \le x \le 2$ である。軸は $x = -1$ なので、定義域の端点である $x = 2$ で最小値を取る。問題文より最小値は2なので、

$y(2) = -(2 + 1)^2 + 1 + b = -9 + 1 + b = -8 + b = 2$

$b = 10$

したがって、関数は

$y = -(x + 1)^2 + 1 + 10 = -(x + 1)^2 + 11$

となる。

このとき、最大値は $11$ であり、最小値は2である。

$x = -2$ のとき $y = -(-2+1)^2 + 11 = -1 + 11 = 10$

$x = 2$ のとき $y = -(2+1)^2 + 11 = -9 + 11 = 2$

3. 最終的な答え

$a = -2$

$b = 10$