与えられた5つの関数について、それぞれの逆関数を求める問題です。 (1) $y = -2x + 1$ (2) $y = \frac{1}{x-1}$ (3) $y = x^2$ ($x \geq 0$) (4) $y = \frac{1}{x} + 2$ (5) $y = \sqrt{2x-1}$

1. 問題の内容

与えられた5つの関数について、それぞれの逆関数を求める問題です。

(1) $y = -2x + 1$

(2) $y = \frac{1}{x-1}$

(3) $y = x^2$ ($x \geq 0$)

(4) $y = \frac{1}{x} + 2$

(5) $y = \sqrt{2x-1}$

2. 解き方の手順

逆関数を求める一般的な手順は以下の通りです。

1. 与えられた関数 $y = f(x)$ において、$x$ と $y$ を入れ替えます。

2. 入れ替えた式を $y$ について解きます。このとき得られた $y$ が逆関数 $f^{-1}(x)$ となります。

3. 定義域や値域に注意し、必要に応じて条件を記述します。

(1) $y = -2x + 1$ の逆関数を求める。

* $x$ と $y$ を入れ替えます: $x = -2y + 1$

* $y$ について解きます: $2y = 1 - x$, よって $y = \frac{1 - x}{2}$

(2) $y = \frac{1}{x-1}$ の逆関数を求める。

* $x$ と $y$ を入れ替えます: $x = \frac{1}{y-1}$

* $y$ について解きます: $x(y-1) = 1$, $y-1 = \frac{1}{x}$, よって $y = \frac{1}{x} + 1$

(3) $y = x^2$ ($x \geq 0$) の逆関数を求める。

* $x$ と $y$ を入れ替えます: $x = y^2$

* $y$ について解きます: $y = \pm \sqrt{x}$. $x \geq 0$という条件から、$y \geq 0$なので、$y = \sqrt{x}$

(4) $y = \frac{1}{x} + 2$ の逆関数を求める。

* $x$ と $y$ を入れ替えます: $x = \frac{1}{y} + 2$

* $y$ について解きます: $x - 2 = \frac{1}{y}$, よって $y = \frac{1}{x - 2}$

(5) $y = \sqrt{2x - 1}$ の逆関数を求める。

* $x$ と $y$ を入れ替えます: $x = \sqrt{2y - 1}$

* $y$ について解きます: $x^2 = 2y - 1$, $2y = x^2 + 1$, よって $y = \frac{x^2 + 1}{2}$

また、$y = \sqrt{2x-1}$ の値域は $y \geq 0$であるから、定義域は$x \geq 0$。

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{1 - x}{2}$

(2) $y = \frac{1}{x} + 1$

(3) $y = \sqrt{x}$

(4) $y = \frac{1}{x - 2}$

(5) $y = \frac{x^2 + 1}{2}$ ($x \geq 0$)