2次方程式 $2x^2 + 12x + 14 = 0$ の解が $x = -3 \pm \sqrt{2}$ であることを利用して、$2x^2 + 12x + 14$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2 + 12x + 14 = 0$ の解が $x = -3 \pm \sqrt{2}$ であることを利用して、$2x^2 + 12x + 14$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

解が $x = -3 \pm \sqrt{2}$ であることから、因数は $(x - (-3 + \sqrt{2}))$ と $(x - (-3 - \sqrt{2}))$ であると考えられます。

つまり、$(x + 3 - \sqrt{2})$ と $(x + 3 + \sqrt{2})$ が因数です。

これらの積は、

$$(x + 3 - \sqrt{2})(x + 3 + \sqrt{2}) = (x + 3)^2 - (\sqrt{2})^2 = x^2 + 6x + 9 - 2 = x^2 + 6x + 7$$

となります。

元の式は $2x^2 + 12x + 14$ なので、$2(x^2 + 6x + 7)$ となります。

したがって、

$$2x^2 + 12x + 14 = 2(x^2 + 6x + 7) = 2(x + 3 - \sqrt{2})(x + 3 + \sqrt{2})$$

3. 最終的な答え

$2(x + 3 - \sqrt{2})(x + 3 + \sqrt{2})$