与えられた行列式の値を計算する問題です。行列は以下の通りです。 $\begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 \\ 4 & 3 & 2 & 1 & 0 \end{vmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列式の値を計算する問題です。行列は以下の通りです。

$\begin{vmatrix}

0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\

1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\

2 & 1 & 0 & 1 & 2 \\

3 & 2 & 1 & 0 & 1 \\

4 & 3 & 2 & 1 & 0

\end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

この行列式を直接計算するのは大変なので、行基本変形を用いて計算を簡単にする必要があります。

まず、1行目を $-1$ 倍して2行目に足し、1行目を $-2$ 倍して3行目に足し、1行目を $-3$ 倍して4行目に足し、1行目を $-4$ 倍して5行目に足します。

$\begin{vmatrix}

0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\

1 & -1 & -1 & -1 & -1 \\

2 & -1 & -4 & -5 & -6 \\

3 & -1 & -5 & -9 & -11 \\

4 & -1 & -6 & -11 & -16

\end{vmatrix}$

次に、1列目と2列目を入れ替えます。入れ替えるたびに符号が反転することに注意します。

$-\begin{vmatrix}

1 & 0 & 2 & 3 & 4 \\

-1 & 1 & -1 & -1 & -1 \\

-1 & 2 & -4 & -5 & -6 \\

-1 & 3 & -5 & -9 & -11 \\

-1 & 4 & -6 & -11 & -16

\end{vmatrix}$

2行目以降の1列目を0にするために、2行目以降に1行目を加えます。

$-\begin{vmatrix}

1 & 0 & 2 & 3 & 4 \\

0 & 1 & 1 & 2 & 3 \\

0 & 2 & -2 & -2 & -2 \\

0 & 3 & -3 & -6 & -7 \\

0 & 4 & -2 & -8 & -12

\end{vmatrix}$

第一列についての余因子展開により、

$-\begin{vmatrix}

1 & 1 & 2 & 3 \\

2 & -2 & -2 & -2 \\

3 & -3 & -6 & -7 \\

4 & -2 & -8 & -12

\end{vmatrix}$

2行目を2で割ると

$-2\begin{vmatrix}

1 & 1 & 2 & 3 \\

1 & -1 & -1 & -1 \\

3 & -3 & -6 & -7 \\

4 & -2 & -8 & -12

\end{vmatrix}$

次に、1行目を引く操作を行い、さらに3行目、4行目についても同様の操作を行います。

$-2\begin{vmatrix}

1 & 1 & 2 & 3 \\

0 & -2 & -3 & -4 \\

0 & -6 & -12 & -16 \\

0 & -6 & -16 & -24

\end{vmatrix}$

$\begin{vmatrix}

-2 & -3 & -4 \\

-6 & -12 & -16 \\

-6 & -16 & -24

\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}

-2 & -3 & -4 \\

0 & -3 & -4 \\

0 & -7 & -12

\end{vmatrix} = -2 (36-28) = -2(8) = -16$

したがって、$-2(-16) = 32$

3. 最終的な答え

32