$3x^2 - 12x + 6 = 0$ の解が $x = 2 \pm \sqrt{2}$ であることを利用して、$3x^2 - 12x + 6$ を因数分解する。

代数学二次方程式因数分解解の公式展開
2025/6/24

1. 問題の内容

3x212x+6=03x^2 - 12x + 6 = 0 の解が x=2±2x = 2 \pm \sqrt{2} であることを利用して、3x212x+63x^2 - 12x + 6 を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、3x212x+6=03x^2 - 12x + 6 = 0 の解が x=2±2x = 2 \pm \sqrt{2} であることから、因数分解された形を推定する。
解が x=2+2x = 2 + \sqrt{2}x=22x = 2 - \sqrt{2} であるということは、因数として (x(2+2))(x - (2 + \sqrt{2}))(x(22))(x - (2 - \sqrt{2})) を持つことを意味する。
したがって、3x212x+63x^2 - 12x + 63(x(2+2))(x(22))3(x - (2 + \sqrt{2}))(x - (2 - \sqrt{2})) と因数分解できると考えられる。
これを展開してみる。
\begin{align*}
3(x - (2 + \sqrt{2}))(x - (2 - \sqrt{2})) &= 3((x - 2) - \sqrt{2})((x - 2) + \sqrt{2}) \\
&= 3((x - 2)^2 - (\sqrt{2})^2) \\
&= 3(x^2 - 4x + 4 - 2) \\
&= 3(x^2 - 4x + 2) \\
&= 3x^2 - 12x + 6
\end{align*}
よって、3x212x+63x^2 - 12x + 6 の因数分解は 3(x(2+2))(x(22))3(x - (2 + \sqrt{2}))(x - (2 - \sqrt{2})) である。

3. 最終的な答え

3(x22)(x2+2)3(x - 2 - \sqrt{2})(x - 2 + \sqrt{2})

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