4つの小問からなる問題です。 (1) $2x^2 - 5x + 3$ を因数分解する。 (2) $x + \frac{1}{x} = 3$ のとき、$x^2 + \frac{1}{x^2}$ の値を求める。 (3) 連立不等式 $2(x-5) < -x+4 < x+2$ を満たす整数 $x$ の個数を求める。 (4) 放物線 $y = 2x^2 - 4x + 5$ を $x$ 軸方向に $3$, $y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動させた放物線の頂点の座標を求める。

1. 問題の内容

4つの小問からなる問題です。

(1) $2x^2 - 5x + 3$ を因数分解する。

(2) $x + \frac{1}{x} = 3$ のとき、$x^2 + \frac{1}{x^2}$ の値を求める。

(3) 連立不等式 $2(x-5) < -x+4 < x+2$ を満たす整数 $x$ の個数を求める。

(4) 放物線 $y = 2x^2 - 4x + 5$ を $x$ 軸方向に $3$, $y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動させた放物線の頂点の座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) $2x^2 - 5x + 3$ を因数分解します。

$2x^2 - 5x + 3 = (2x - 3)(x - 1)$

(2) $x + \frac{1}{x} = 3$ の両辺を2乗します。

$(x + \frac{1}{x})^2 = 3^2$

$x^2 + 2(x)(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x^2} = 9$

$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 9$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 9 - 2$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 7$

(3) 連立不等式 $2(x-5) < -x+4 < x+2$ を解きます。

まず、$2(x-5) < -x+4$ を解きます。

$2x - 10 < -x + 4$

$3x < 14$

$x < \frac{14}{3}$

次に、$-x+4 < x+2$ を解きます。

$2 < 2x$

$1 < x$

したがって、$1 < x < \frac{14}{3}$ となり、$\frac{14}{3} \approx 4.67$ であるため、$x = 2, 3, 4$ が整数解となります。

したがって、整数 $x$ は3個です。

(4) 放物線 $y = 2x^2 - 4x + 5$ を $x$ 軸方向に $3$, $y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動させた放物線の頂点の座標を求めます。

まず、$y = 2x^2 - 4x + 5$ を平方完成します。

$y = 2(x^2 - 2x) + 5$

$y = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 5$

$y = 2((x - 1)^2 - 1) + 5$

$y = 2(x - 1)^2 - 2 + 5$

$y = 2(x - 1)^2 + 3$

頂点の座標は $(1, 3)$ です。

$x$ 軸方向に $3$, $y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動すると、頂点の座標は $(1+3, 3-1) = (4, 2)$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $(2x - 3)(x - 1)$

(2) $7$

(3) $3$

(4) $(4, 2)$