二次方程式 $3x^2 + 6x - 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、$\alpha^2 + \beta^2$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

二次方程式 $3x^2 + 6x - 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、$\alpha^2 + \beta^2$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、二次方程式の解と係数の関係を利用します。

$ax^2 + bx + c = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とすると、解と係数の関係は以下のようになります。

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$

$\alpha \beta = \frac{c}{a}$

与えられた二次方程式 $3x^2 + 6x - 1 = 0$ に当てはめると、

$\alpha + \beta = -\frac{6}{3} = -2$

$\alpha \beta = \frac{-1}{3} = -\frac{1}{3}$

次に、$\alpha^2 + \beta^2$ を $(\alpha + \beta)$ と $\alpha\beta$ を用いて表します。

$(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$ より、

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$

ここに、$\alpha + \beta = -2$ と $\alpha\beta = -\frac{1}{3}$ を代入します。

$\alpha^2 + \beta^2 = (-2)^2 - 2\left(-\frac{1}{3}\right) = 4 + \frac{2}{3} = \frac{12}{3} + \frac{2}{3} = \frac{14}{3}$

3. 最終的な答え

$\alpha^2 + \beta^2 = \frac{14}{3}$