多項式 $x^3 - 2x^2 + ax + b$ が $x^2 + 2x - 3$ で割り切れるように、定数 $a$ と $b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

多項式 $x^3 - 2x^2 + ax + b$ が $x^2 + 2x - 3$ で割り切れるように、定数 $a$ と $b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

多項式 $x^3 - 2x^2 + ax + b$ が $x^2 + 2x - 3$ で割り切れるということは、

$x^3 - 2x^2 + ax + b = (x^2 + 2x - 3)(x + c)$

と書けることを意味します。ただし、$c$ はある定数です。

右辺を展開すると、

$(x^2 + 2x - 3)(x + c) = x^3 + cx^2 + 2x^2 + 2cx - 3x - 3c = x^3 + (c+2)x^2 + (2c-3)x - 3c$

となります。

したがって、左辺と右辺の係数を比較すると、次の連立方程式が得られます。

$x^2$の係数： $c + 2 = -2$

$x$の係数： $2c - 3 = a$

定数項： $-3c = b$

最初の式から、$c = -4$ が得られます。

これを2番目の式に代入すると、$a = 2(-4) - 3 = -8 - 3 = -11$ となります。

これを3番目の式に代入すると、$b = -3(-4) = 12$ となります。

3. 最終的な答え

$a = -11$

$b = 12$