与えられた2つの数列の和を求める問題です。 (1) $\sum_{k=1}^{n} (3k^2 - 7k + 4)$ (2) $\sum_{k=1}^{n} (k-1)(k-2)$

はい、承知いたしました。以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

与えられた2つの数列の和を求める問題です。

(1) $\sum_{k=1}^{n} (3k^2 - 7k + 4)$

(2) $\sum_{k=1}^{n} (k-1)(k-2)$

2. 解き方の手順

(1)

$\sum_{k=1}^{n} (3k^2 - 7k + 4)$ を計算します。

シグマの性質を利用して、各項に分解します。

$\sum_{k=1}^{n} 3k^2 - \sum_{k=1}^{n} 7k + \sum_{k=1}^{n} 4$

定数をシグマの外に出します。

$3\sum_{k=1}^{n} k^2 - 7\sum_{k=1}^{n} k + 4\sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$, $\sum_{k=1}^{n} 1 = n$ を代入します。

$3 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 7 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + 4n$

$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} - \frac{7n(n+1)}{2} + 4n$

$= \frac{n}{2} [(n+1)(2n+1) - 7(n+1) + 8]$

$= \frac{n}{2} [2n^2 + 3n + 1 - 7n - 7 + 8]$

$= \frac{n}{2} [2n^2 - 4n + 2]$

$= n(n^2 - 2n + 1)$

$= n(n-1)^2$

(2)

$\sum_{k=1}^{n} (k-1)(k-2)$ を計算します。

展開します。

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 - 3k + 2)$

シグマの性質を利用して、各項に分解します。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 - \sum_{k=1}^{n} 3k + \sum_{k=1}^{n} 2$

定数をシグマの外に出します。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 - 3\sum_{k=1}^{n} k + 2\sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$, $\sum_{k=1}^{n} 1 = n$ を代入します。

$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 3 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + 2n$

$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{9n(n+1)}{6} + \frac{12n}{6}$

$= \frac{n}{6} [(n+1)(2n+1) - 9(n+1) + 12]$

$= \frac{n}{6} [2n^2 + 3n + 1 - 9n - 9 + 12]$

$= \frac{n}{6} [2n^2 - 6n + 4]$

$= \frac{n}{3} [n^2 - 3n + 2]$

$= \frac{n(n-1)(n-2)}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $n(n-1)^2$

(2) $\frac{n(n-1)(n-2)}{3}$