$a, b, c$ を定数とする2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ について、左辺を平方完成することで解が $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ となることを示す。

1. 問題の内容

$a, b, c$ を定数とする2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ について、左辺を平方完成することで解が $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ となることを示す。

2. 解き方の手順

与えられた2次方程式は $ax^2 + bx + c = 0$ である。

まず、$a$ で両辺を割ると（ただし、$a \neq 0$）、

$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$

次に、平方完成を行う。

$x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$

$x^2 + \frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^2 = -\frac{c}{a} + (\frac{b}{2a})^2$

$(x + \frac{b}{2a})^2 = -\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2}$

$(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{-4ac + b^2}{4a^2}$

$(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$

両辺の平方根をとると、

$x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}$

$x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

3. 最終的な答え

したがって、2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解は $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ である。