与えられた3つの式の分母を有理化する問題です。 (1) $\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$ (2) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$ (3) $\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{7}-2}$

1. 問題の内容

与えられた3つの式の分母を有理化する問題です。

(1) $\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$

(2) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$

(3) $\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{7}-2}$

2. 解き方の手順

(1) 分母の有理化のために、分母の共役である $\sqrt{7} - \sqrt{3}$ を分母と分子に掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{7-3} = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{4}$

(2) 分母の有理化のために、分母の共役である $\sqrt{5} - \sqrt{3}$ を分母と分子に掛けます。

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{5-3} = \frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{2}$

(3) 分母の有理化のために、分母の共役である $\sqrt{7} + 2$ を分母と分子に掛けます。

$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{7}-2} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{7}-2} \times \frac{\sqrt{7}+2}{\sqrt{7}+2} = \frac{3\sqrt{2}(\sqrt{7}+2)}{(\sqrt{7})^2 - 2^2} = \frac{3(\sqrt{14}+2\sqrt{2})}{7-4} = \frac{3(\sqrt{14}+2\sqrt{2})}{3} = \sqrt{14}+2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{4}$

(2) $\frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{2}$

(3) $\sqrt{14}+2\sqrt{2}$