$x^3 - 2x^2 + ax + b$ が $x^2 + 2x - 3$ で割り切れるように、定数 $a, b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$x^3 - 2x^2 + ax + b$ が $x^2 + 2x - 3$ で割り切れるように、定数 $a, b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

割り算を実行して余りが0になる条件から$a, b$の値を求めます。

$x^3 - 2x^2 + ax + b$ を $x^2 + 2x - 3$ で割ると、次のようになります。

まず、$x^3 - 2x^2 + ax + b$ を $x^2$ で割ると、$x$ が立ちます。

$x(x^2 + 2x - 3) = x^3 + 2x^2 - 3x$

よって、$x^3 - 2x^2 + ax + b - (x^3 + 2x^2 - 3x) = -4x^2 + (a+3)x + b$

次に、 $-4x^2 + (a+3)x + b$ を $x^2$ で割ると、$-4$ が立ちます。

$-4(x^2 + 2x - 3) = -4x^2 - 8x + 12$

よって、$-4x^2 + (a+3)x + b - (-4x^2 - 8x + 12) = (a+11)x + (b-12)$

$x^3 - 2x^2 + ax + b$ が $x^2 + 2x - 3$ で割り切れるためには、余りが0になる必要があります。したがって、

$(a+11)x + (b-12) = 0$

この式がすべての $x$ について成り立つためには、次の2つの条件を満たす必要があります。

$a+11 = 0$

$b-12 = 0$

これらの式を解くと、

$a = -11$

$b = 12$

3. 最終的な答え

$a = -11$

$b = 12$