(2) 放物線 $y = ax^2 + bx + 3$ が2点 $(1, 6)$, $(2, 5)$ を通るとき、定数 $a, b$ の値を求める。 (3) 放物線 $y = x^2 - 2ax + b$ の頂点が点 $(3, -1)$ であるとき、定数 $a, b$ の値を求める。

1. 問題の内容

(2) 放物線 $y = ax^2 + bx + 3$ が2点 $(1, 6)$, $(2, 5)$ を通るとき、定数 $a, b$ の値を求める。

(3) 放物線 $y = x^2 - 2ax + b$ の頂点が点 $(3, -1)$ であるとき、定数 $a, b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(2)

点 $(1, 6)$ を通ることから、

$6 = a(1)^2 + b(1) + 3$

$6 = a + b + 3$

$a + b = 3$ ...(1)

点 $(2, 5)$ を通ることから、

$5 = a(2)^2 + b(2) + 3$

$5 = 4a + 2b + 3$

$4a + 2b = 2$

$2a + b = 1$ ...(2)

(2) - (1) より、

$(2a + b) - (a + b) = 1 - 3$

$a = -2$

(1) に代入して、

$-2 + b = 3$

$b = 5$

(3)

$y = x^2 - 2ax + b$ を平方完成する。

$y = (x^2 - 2ax + a^2) - a^2 + b$

$y = (x - a)^2 - a^2 + b$

頂点が $(3, -1)$ であるから、

$a = 3$

$-a^2 + b = -1$

$-3^2 + b = -1$

$-9 + b = -1$

$b = 8$

3. 最終的な答え

(2) $a = -2$, $b = 5$

(3) $a = 3$, $b = 8$