不等式 $5x - 3 > x + a$ について、以下の問いに答えます。 (1) 解が $x > 2$ となるように、定数 $a$ の値を求めます。 (2) 解が $x \geqq 3$ を含むように、定数 $a$ の値の範囲を求めます。 (3) この不等式を満たす $x$ のうち、最小の整数が 0 となるように、定数 $a$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

不等式 $5x - 3 > x + a$ について、以下の問いに答えます。

(1) 解が $x > 2$ となるように、定数 $a$ の値を求めます。

(2) 解が $x \geqq 3$ を含むように、定数 $a$ の値の範囲を求めます。

(3) この不等式を満たす $x$ のうち、最小の整数が 0 となるように、定数 $a$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、不等式を $x$ について解きます。

$5x - 3 > x + a$

$4x > a + 3$

$x > \frac{a+3}{4}$

解が $x > 2$ となるためには、$\frac{a+3}{4} = 2$ である必要があります。

$a + 3 = 8$

$a = 5$

(2)

不等式の解は $x > \frac{a+3}{4}$ です。

解が $x \geqq 3$ を含むためには、$\frac{a+3}{4} < 3$ が成り立つ必要があります。もし $\frac{a+3}{4} = 3$ だと $x > 3$ となり、$x=3$を含まないからです。

$\frac{a+3}{4} \leqq 3$ という条件だと $x=3$ を含まないので、$x > 3$ であり、 $x \geqq 3$ を含まないので誤りです。

問題文をよく読むと、$x \geqq 3$ を含むように、と書いてあるので、これは$x > \frac{a+3}{4}$を満たすような集合の中に、$x=3$以上の数が含まれていれば良い、という意味だと考えられます。$x=3$が含まれる必要はなく、$3 < x$を不等式が満たしていれば良いので、

$\frac{a+3}{4} \leqq 3$

$a+3 \leqq 12$

$a \leqq 9$

(3)

不等式の解は $x > \frac{a+3}{4}$ です。

最小の整数が 0 となるためには、$-1 \leqq \frac{a+3}{4} < 0$ が必要です。

$\frac{a+3}{4} = -1$ のとき、$x > -1$ より最小の整数は 0 となります。

$\frac{a+3}{4} = 0$ のとき、$x > 0$ より最小の整数は 1 となります。

$-1 \leqq \frac{a+3}{4} < 0$

$-4 \leqq a+3 < 0$

$-7 \leqq a < -3$

3. 最終的な答え

(1) $a = 5$

(2) $a \leqq 9$

(3) $-7 \leqq a < -3$