与えられた式 $2x^2 + xy - y^2 + 7x - 5y - 4$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $2x^2 + xy - y^2 + 7x - 5y - 4$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$2x^2 + (y+7)x - (y^2 + 5y + 4)$

定数項を因数分解します。

$y^2 + 5y + 4 = (y+1)(y+4)$

したがって、

$2x^2 + (y+7)x - (y+1)(y+4)$

たすき掛けを考えます。

\begin{array}{ccc}

2 & -(y+1) & -2y-2 \\

1 & y+4 & y+4 \\

\hline

& & -2y-2 + y+4 = -y+2

\end{array}

これは $y+7$ になりません。符号を変えてみましょう。

\begin{array}{ccc}

2 & (y+1) & 2y+2 \\

1 & -(y+4) & -y-4 \\

\hline

& & 2y+2 -y -4 = y-2

\end{array}

これも $y+7$ になりません。係数を入れ替えてみましょう。

\begin{array}{ccc}

2 & -(y+4) & -2y-8 \\

1 & y+1 & y+1 \\

\hline

& & -2y-8 + y+1 = -y-7

\end{array}

やはり $y+7$ になりません。もう一度符号を変えてみましょう。

\begin{array}{ccc}

2 & (y+4) & 2y+8 \\

1 & -(y+1) & -y-1 \\

\hline

& & 2y+8 - y-1 = y+7

\end{array}

うまくいきました。したがって、

$2x^2 + (y+7)x - (y+1)(y+4) = (2x - (y+1))(x + (y+4)) = (2x - y - 1)(x + y + 4)$

3. 最終的な答え

$(2x-y-1)(x+y+4)$