与えられた数列 $\{a_n\}$: 2, 6, 12, 20, 30, 42, ... の一般項 $a_n$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた数列 $\{a_n\}$: 2, 6, 12, 20, 30, 42, ... の一般項 $a_n$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、数列の階差数列を求める。

階差数列とは、隣り合う項の差を取った数列である。

元の数列を $\{a_n\}$ とすると、階差数列 $\{b_n\}$ は $b_n = a_{n+1} - a_n$ で定義される。

与えられた数列の階差数列を計算する:

$b_1 = 6 - 2 = 4$

$b_2 = 12 - 6 = 6$

$b_3 = 20 - 12 = 8$

$b_4 = 30 - 20 = 10$

$b_5 = 42 - 30 = 12$

階差数列 $\{b_n\}$ は 4, 6, 8, 10, 12, ... となり、これは初項4、公差2の等差数列である。

したがって、$b_n = 4 + (n-1)2 = 2n + 2$

数列 $\{a_n\}$ の一般項は、階差数列 $\{b_n\}$ を用いて次のように表される。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k \quad (n \geq 2)$

$a_1 = 2$ であるから、

$a_n = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k+2) = 2 + 2\sum_{k=1}^{n-1} k + 2\sum_{k=1}^{n-1} 1$

$a_n = 2 + 2\cdot \frac{(n-1)n}{2} + 2(n-1) = 2 + n(n-1) + 2(n-1)$

$a_n = 2 + n^2 - n + 2n - 2 = n^2 + n$

$a_n = n^2 + n$

$n=1$ のとき、$a_1 = 1^2 + 1 = 2$ となり、与えられた数列の最初の項と一致する。したがって、一般項は $a_n = n^2 + n$ で表される。

3. 最終的な答え

$a_n = n^2 + n$