ベクトル $\vec{a} = (3, 1)$ と $\vec{b} = (-3, 4)$ が与えられている。$t\vec{a} - \vec{b}$ と $t\vec{a} + 2\vec{b}$ が垂直となるとき、実数 $t$ の値を求める。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (3, 1)$ と $\vec{b} = (-3, 4)$ が与えられている。$t\vec{a} - \vec{b}$ と $t\vec{a} + 2\vec{b}$ が垂直となるとき、実数 $t$ の値を求める。

2. 解き方の手順

ベクトルが垂直である条件は、それらの内積が 0 になることです。したがって、

$(t\vec{a} - \vec{b}) \cdot (t\vec{a} + 2\vec{b}) = 0$

となる $t$ を求めます。

まず、$t\vec{a} - \vec{b}$ と $t\vec{a} + 2\vec{b}$ を成分で表します。

$t\vec{a} = t(3, 1) = (3t, t)$

したがって、

$t\vec{a} - \vec{b} = (3t, t) - (-3, 4) = (3t + 3, t - 4)$

$t\vec{a} + 2\vec{b} = (3t, t) + 2(-3, 4) = (3t, t) + (-6, 8) = (3t - 6, t + 8)$

次に、これらの内積を計算します。

$(3t + 3, t - 4) \cdot (3t - 6, t + 8) = (3t + 3)(3t - 6) + (t - 4)(t + 8) = 0$

これを展開して整理します。

$9t^2 - 18t + 9t - 18 + t^2 + 8t - 4t - 32 = 0$

$10t^2 - 5t - 50 = 0$

$2t^2 - t - 10 = 0$

この2次方程式を解きます。因数分解できるので、

$(2t - 5)(t + 2) = 0$

したがって、$t = \frac{5}{2}$ または $t = -2$

3. 最終的な答え

$t = \frac{5}{2}, -2$