実数 $x, y$ が $x^2 + y^2 = 2x$ を満たしながら動くとき、$3x + 4y$ の最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

実数 $x, y$ が $x^2 + y^2 = 2x$ を満たしながら動くとき、$3x + 4y$ の最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた条件式を変形する。

$x^2 + y^2 = 2x$ より、

$x^2 - 2x + y^2 = 0$

$(x-1)^2 + y^2 = 1$

これは、中心 $(1, 0)$、半径 $1$ の円を表す。

次に、$3x + 4y = k$ とおき、$y = -\frac{3}{4}x + \frac{k}{4}$ を得る。これは傾き $-\frac{3}{4}$、y切片 $\frac{k}{4}$ の直線を表す。

この直線が円 $(x-1)^2 + y^2 = 1$ と共有点を持つとき、$k$ の値が存在する。したがって、円と直線が接するときの $k$ の値を求めれば、最大値と最小値が求まる。

円の中心 $(1, 0)$ と直線 $3x + 4y - k = 0$ の距離が半径 $1$ に等しいとき、円と直線は接する。

点と直線の距離の公式より、

$\frac{|3(1) + 4(0) - k|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = 1$

$\frac{|3 - k|}{\sqrt{9 + 16}} = 1$

$\frac{|3 - k|}{5} = 1$

$|3 - k| = 5$

$3 - k = \pm 5$

$k = 3 \pm 5$

$k = 8$ または $k = -2$

したがって、$3x + 4y$ の最大値は $8$、最小値は $-2$ である。

次に、それぞれのときの $x$ の値を求める。

(i) $3x + 4y = 8$ のとき、$y = -\frac{3}{4}x + 2$

これを $(x-1)^2 + y^2 = 1$ に代入する。

$(x-1)^2 + (-\frac{3}{4}x + 2)^2 = 1$

$x^2 - 2x + 1 + \frac{9}{16}x^2 - 3x + 4 = 1$

$\frac{25}{16}x^2 - 5x + 4 = 0$

$25x^2 - 80x + 64 = 0$

$(5x - 8)^2 = 0$

$x = \frac{8}{5}$

(ii) $3x + 4y = -2$ のとき、$y = -\frac{3}{4}x - \frac{1}{2}$

これを $(x-1)^2 + y^2 = 1$ に代入する。

$(x-1)^2 + (-\frac{3}{4}x - \frac{1}{2})^2 = 1$

$x^2 - 2x + 1 + \frac{9}{16}x^2 + \frac{3}{4}x + \frac{1}{4} = 1$

$\frac{25}{16}x^2 - \frac{5}{4}x + \frac{1}{4} = 0$

$25x^2 - 20x + 4 = 0$

$(5x - 2)^2 = 0$

$x = \frac{2}{5}$

3. 最終的な答え

$3x + 4y$ の最大値は $8$ であり、そのときの $x$ の値は $\frac{8}{5}$。

$3x + 4y$ の最小値は $-2$ であり、そのときの $x$ の値は $\frac{2}{5}$。