二次方程式 $x^2 - 2x - 5 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$とするとき、以下の値を求めよ。 (2) $\alpha\beta$ (4) $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$

1. 問題の内容

二次方程式 $x^2 - 2x - 5 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$とするとき、以下の値を求めよ。

(2) $\alpha\beta$

(4) $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$

2. 解き方の手順

二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解を $\alpha$, $\beta$とするとき、解と係数の関係は次のようになる。

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$

$\alpha \beta = \frac{c}{a}$

(2) $\alpha \beta$ を求める。

$x^2 - 2x - 5 = 0$ において、$a=1, b=-2, c=-5$であるから、

$\alpha \beta = \frac{c}{a} = \frac{-5}{1} = -5$

(4) $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$ を求める。

$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta}$

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -\frac{-2}{1} = 2$

$\alpha \beta = -5$

$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{2}{-5} = -\frac{2}{5}$

3. 最終的な答え

(2) $\alpha\beta = -5$

(4) $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = -\frac{2}{5}$