2次方程式 $x^2 - 2x - 5 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、以下の値を求めます。 (1) $\alpha + \beta$ (3) $\alpha^2 + \beta^2$

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2x - 5 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、以下の値を求めます。

(1) $\alpha + \beta$

(3) $\alpha^2 + \beta^2$

2. 解き方の手順

(1) 解と係数の関係より、2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$

$\alpha \beta = \frac{c}{a}$

が成り立ちます。

与えられた2次方程式は $x^2 - 2x - 5 = 0$ なので、$a = 1$, $b = -2$, $c = -5$ です。

したがって、

$\alpha + \beta = -\frac{-2}{1} = 2$

(3) $\alpha^2 + \beta^2$ を求めるには、$(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$ という関係式を利用します。

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$

$\alpha + \beta = 2$ であることはすでにわかっています。

解と係数の関係より、

$\alpha \beta = \frac{c}{a} = \frac{-5}{1} = -5$

したがって、

$\alpha^2 + \beta^2 = (2)^2 - 2(-5) = 4 + 10 = 14$

3. 最終的な答え

(1) $\alpha + \beta = 2$

(3) $\alpha^2 + \beta^2 = 14$