$a$を定数とする。2次関数 $y = x^2 + 2ax - a^2 + 4a + 5$ の最小値を $m$ とするとき、以下の問いに答える。 (1) $m$を $a$ の式で表せ。 (2) $m$ の最大値とそのときの $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$を定数とする。2次関数 $y = x^2 + 2ax - a^2 + 4a + 5$ の最小値を $m$ とするとき、以下の問いに答える。

(1) $m$を $a$ の式で表せ。

(2) $m$ の最大値とそのときの $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 2次関数 $y = x^2 + 2ax - a^2 + 4a + 5$ を平方完成する。

$y = (x+a)^2 - a^2 - a^2 + 4a + 5$

$y = (x+a)^2 - 2a^2 + 4a + 5$

したがって、最小値 $m$ は、

$m = -2a^2 + 4a + 5$

(2) (1)で求めた $m$ の式を平方完成する。

$m = -2(a^2 - 2a) + 5$

$m = -2(a^2 - 2a + 1 - 1) + 5$

$m = -2((a-1)^2 - 1) + 5$

$m = -2(a-1)^2 + 2 + 5$

$m = -2(a-1)^2 + 7$

したがって、$m$ の最大値は $7$ であり、そのときの $a$ の値は $1$ である。

3. 最終的な答え

(1) $m = -2a^2 + 4a + 5$

(2) $m$ の最大値は $7$ であり、$a = 1$ のとき。