不等式 $a^2 + 3ab + 3b^2 \geq 0$ が成り立つことを証明し、等号が成り立つ条件を求める問題です。

1. 問題の内容

不等式 $a^2 + 3ab + 3b^2 \geq 0$ が成り立つことを証明し、等号が成り立つ条件を求める問題です。

2. 解き方の手順

左辺を平方完成して考えます。

$a^2 + 3ab + 3b^2 = (a + \frac{3}{2}b)^2 - (\frac{3}{2}b)^2 + 3b^2$

$= (a + \frac{3}{2}b)^2 - \frac{9}{4}b^2 + 3b^2$

$= (a + \frac{3}{2}b)^2 + \frac{3}{4}b^2$

$(a + \frac{3}{2}b)^2 \geq 0$ かつ $\frac{3}{4}b^2 \geq 0$ より、

$(a + \frac{3}{2}b)^2 + \frac{3}{4}b^2 \geq 0$

よって、$a^2 + 3ab + 3b^2 \geq 0$ が成り立ちます。

等号が成り立つのは、$a + \frac{3}{2}b = 0$ かつ $b = 0$ のときです。

$b=0$ を $a + \frac{3}{2}b = 0$ に代入すると、$a = 0$ となります。

3. 最終的な答え

不等式 $a^2 + 3ab + 3b^2 \geq 0$ は成り立つ。

等号が成り立つのは、$a=0$ かつ $b=0$ のとき。