2次方程式 $x^2 + 2x + 5 = 0$ の2つの解を$\alpha$, $\beta$とするとき、$3\alpha$, $3\beta$を解とする、$x^2$の係数が1である2次方程式を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 2x + 5 = 0$ の2つの解を$\alpha$, $\beta$とするとき、$3\alpha$, $3\beta$を解とする、$x^2$の係数が1である2次方程式を求める。

2. 解き方の手順

解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = -2$

$\alpha \beta = 5$

$3\alpha$と$3\beta$を解とする2次方程式は、

$(x - 3\alpha)(x - 3\beta) = 0$

と表せる。展開すると

$x^2 - 3\alpha x - 3\beta x + 9\alpha \beta = 0$

$x^2 - 3(\alpha + \beta)x + 9\alpha \beta = 0$

となる。

ここで$\alpha + \beta = -2$、$\alpha \beta = 5$を代入すると、

$x^2 - 3(-2)x + 9(5) = 0$

$x^2 + 6x + 45 = 0$

3. 最終的な答え

$x^2 + 6x + 45 = 0$