$x^4 - 49$ を係数の範囲が有理数、実数、複素数のそれぞれの場合で因数分解する問題です。

1. 問題の内容

$x^4 - 49$ を係数の範囲が有理数、実数、複素数のそれぞれの場合で因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x^4 - 49$ を因数分解します。

$x^4 - 49 = (x^2)^2 - 7^2$

これは二乗の差の形なので、$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を利用して、

$x^4 - 49 = (x^2 + 7)(x^2 - 7)$

- 有理数の範囲での因数分解

$x^2 - 7$ は $x^2 - (\sqrt{7})^2$ と考えると $(\sqrt{7})$ が無理数なので、有理数の範囲ではこれ以上因数分解できません。

よって、$x^4 - 49 = (x^2 + 7)(x^2 - 7)$

- 実数の範囲での因数分解

$x^2 - 7$ を実数の範囲で因数分解すると、$x^2 - 7 = (x + \sqrt{7})(x - \sqrt{7})$ となります。

また、$x^2 + 7$ は実数の範囲ではこれ以上因数分解できません。

よって、$x^4 - 49 = (x^2 + 7)(x + \sqrt{7})(x - \sqrt{7})$

- 複素数の範囲での因数分解

$x^2 + 7 = 0$ を解くと、$x^2 = -7$ より $x = \pm \sqrt{-7} = \pm i\sqrt{7}$ となります。

よって、$x^2 + 7 = (x + i\sqrt{7})(x - i\sqrt{7})$

したがって、$x^4 - 49 = (x + i\sqrt{7})(x - i\sqrt{7})(x + \sqrt{7})(x - \sqrt{7})$

3. 最終的な答え

- 有理数: $(x^2 + 7)(x^2 - 7)$

- 実数: $(x^2 + 7)(x + \sqrt{7})(x - \sqrt{7})$

- 複素数: $(x + i\sqrt{7})(x - i\sqrt{7})(x + \sqrt{7})(x - \sqrt{7})$