2次方程式 $2x^2 + 8x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$\frac{2}{\alpha}$, $\frac{2}{\beta}$ を解とし、$x^2$ の係数が1である2次方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2 + 8x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$\frac{2}{\alpha}$, $\frac{2}{\beta}$ を解とし、$x^2$ の係数が1である2次方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$2x^2 + 8x + 1 = 0$ の解と係数の関係から、$\alpha + \beta$ と $\alpha \beta$ の値を求めます。

解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = -\frac{8}{2} = -4$

$\alpha \beta = \frac{1}{2}$

次に、$\frac{2}{\alpha}$ と $\frac{2}{\beta}$ を解とする2次方程式を求めます。

解と係数の関係より、

$\frac{2}{\alpha} + \frac{2}{\beta} = 2(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}) = 2(\frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta})$

$\frac{2}{\alpha} \cdot \frac{2}{\beta} = \frac{4}{\alpha \beta}$

上記で求めた $\alpha + \beta$ と $\alpha \beta$ の値を代入します。

$\frac{2}{\alpha} + \frac{2}{\beta} = 2(\frac{-4}{\frac{1}{2}}) = 2(-8) = -16$

$\frac{2}{\alpha} \cdot \frac{2}{\beta} = \frac{4}{\frac{1}{2}} = 8$

$x^2$ の係数が1で、2つの解が $\frac{2}{\alpha}$ と $\frac{2}{\beta}$ である2次方程式は、

$x^2 - (\frac{2}{\alpha} + \frac{2}{\beta})x + \frac{2}{\alpha} \cdot \frac{2}{\beta} = 0$

$x^2 - (-16)x + 8 = 0$

$x^2 + 16x + 8 = 0$

3. 最終的な答え

$x^2 + 16x + 8 = 0$