2次方程式 $2x^2 - 12x + 26 = 0$ の解が $x = 3 \pm 2i$ であることを利用して、2次式 $2x^2 - 12x + 26$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2 - 12x + 26 = 0$ の解が $x = 3 \pm 2i$ であることを利用して、2次式 $2x^2 - 12x + 26$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、$2x^2 - 12x + 26 = 0$ の解が $x = 3 + 2i$ と $x = 3 - 2i$ であることから、因数定理より、$2x^2 - 12x + 26$ は $(x - (3 + 2i))$ と $(x - (3 - 2i))$ を因数に持つと考えられます。したがって、

$$(x - (3 + 2i))(x - (3 - 2i)) = (x - 3 - 2i)(x - 3 + 2i)$$

$$= ((x - 3) - 2i)((x - 3) + 2i)$$

$$= (x - 3)^2 - (2i)^2$$

$$= x^2 - 6x + 9 - (-4)$$

$$= x^2 - 6x + 13$$

という因数を持つことがわかります。

与えられた式は $2x^2 - 12x + 26$ であり、$x^2 - 6x + 13$ の2倍になっていることがわかります。 したがって、

$$2x^2 - 12x + 26 = 2(x^2 - 6x + 13)$$

$$= 2(x - (3 + 2i))(x - (3 - 2i))$$

3. 最終的な答え

$2(x - (3+2i))(x - (3-2i))$