2次方程式 $-x^2 + 4x + 2 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}$ を解とし、$x^2$ の係数が1である2次方程式を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $-x^2 + 4x + 2 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}$ を解とし、$x^2$ の係数が1である2次方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次方程式 $-x^2 + 4x + 2 = 0$ を $x^2 - 4x - 2 = 0$ と変形する。

解と係数の関係より、

$$$$

\alpha + \beta = 4 \\

\alpha \beta = -2

$$$$

次に、求める2次方程式の解 $\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}$ の和と積を計算する。

$$$$

\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta} = \frac{4}{-2} = -2

$$$$

$$$$

\frac{1}{\alpha} \cdot \frac{1}{\beta} = \frac{1}{\alpha \beta} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}

$$$$

求める2次方程式は、$x^2$ の係数が1なので、

$$$$

x^2 - (\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta})x + \frac{1}{\alpha} \cdot \frac{1}{\beta} = 0

$$$$

ここに上記の和と積の結果を代入すると、

$$$$

x^2 - (-2)x + (-\frac{1}{2}) = 0

$$$$

$$$$

x^2 + 2x - \frac{1}{2} = 0

$$$$

3. 最終的な答え

$x^2 + 2x - \frac{1}{2} = 0$