2次方程式 $2x^2 - 4x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、$\frac{4}{\alpha}$ と $\frac{4}{\beta}$ を解とし、$x^2$ の係数が1である2次方程式を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2 - 4x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、$\frac{4}{\alpha}$ と $\frac{4}{\beta}$ を解とし、$x^2$ の係数が1である2次方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$2x^2 - 4x + 1 = 0$ の解と係数の関係から、$\alpha + \beta$ と $\alpha \beta$ の値を求める。

次に、新しい2つの解 $\frac{4}{\alpha}$ と $\frac{4}{\beta}$ の和と積を計算する。

最後に、これらの和と積を用いて、$x^2$ の係数が1である新しい2次方程式を作る。

ステップ1：解と係数の関係

$2x^2 - 4x + 1 = 0$ を $x^2 - 2x + \frac{1}{2} = 0$ と変形すると、解と係数の関係から、

$\alpha + \beta = 2$

$\alpha \beta = \frac{1}{2}$

ステップ2：新しい解の和と積の計算

新しい解の和は、

$\frac{4}{\alpha} + \frac{4}{\beta} = 4\left(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}\right) = 4\left(\frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta}\right) = 4\left(\frac{2}{1/2}\right) = 4(4) = 16$

新しい解の積は、

$\frac{4}{\alpha} \cdot \frac{4}{\beta} = \frac{16}{\alpha \beta} = \frac{16}{1/2} = 32$

ステップ3：新しい2次方程式の作成

$x^2$ の係数が1で、2つの解の和が16、積が32である2次方程式は、

$x^2 - (\text{解の和})x + (\text{解の積}) = 0$

したがって、求める2次方程式は

$x^2 - 16x + 32 = 0$

3. 最終的な答え

$x^2 - 16x + 32 = 0$