(1) 任意の自然数 $n$ について、等式 $1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = \frac{n^2(1+n)^2}{4}$ が成り立つことを、数学的帰納法により証明する。 (2) $n$ を自然数とするとき、次の不等式が成り立つことを証明する。 $2^n \ge n^2 - n + 2$

1. 問題の内容

(1) 任意の自然数 $n$ について、等式

$1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = \frac{n^2(1+n)^2}{4}$

が成り立つことを、数学的帰納法により証明する。

(2) $n$ を自然数とするとき、次の不等式が成り立つことを証明する。

$2^n \ge n^2 - n + 2$

2. 解き方の手順

(1) 数学的帰納法による証明

(i) $n=1$ のとき

左辺は $1^3 = 1$

右辺は $\frac{1^2(1+1)^2}{4} = \frac{1 \cdot 4}{4} = 1$

よって、$n=1$ のとき等式は成り立つ。

(ii) $n=k$ のとき等式が成り立つと仮定する。すなわち、

$1^3 + 2^3 + \cdots + k^3 = \frac{k^2(1+k)^2}{4}$

が成り立つと仮定する。

$n=k+1$ のとき、等式が成り立つことを示す。

$1^3 + 2^3 + \cdots + k^3 + (k+1)^3 = \frac{k^2(1+k)^2}{4} + (k+1)^3$

$= \frac{k^2(1+k)^2 + 4(k+1)^3}{4}$

$= \frac{(k+1)^2\{k^2 + 4(k+1)\}}{4}$

$= \frac{(k+1)^2(k^2 + 4k + 4)}{4}$

$= \frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$

$= \frac{(k+1)^2\{1+(k+1)\}^2}{4}$

これは、$n=k+1$ のとき等式が成り立つことを示している。

(i), (ii) より、任意の自然数 $n$ について、等式

$1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = \frac{n^2(1+n)^2}{4}$

が成り立つ。

(2) 数学的帰納法による証明

(i) $n=1$ のとき

左辺は $2^1 = 2$

右辺は $1^2 - 1 + 2 = 1 - 1 + 2 = 2$

よって、$n=1$ のとき不等式は成り立つ。

(ii) $n=k$ のとき不等式が成り立つと仮定する。すなわち、

$2^k \ge k^2 - k + 2$

が成り立つと仮定する。

$n=k+1$ のとき、不等式が成り立つことを示す。

$2^{k+1} = 2 \cdot 2^k \ge 2(k^2 - k + 2) = 2k^2 - 2k + 4$

一方、示すべき不等式は

$2^{k+1} \ge (k+1)^2 - (k+1) + 2 = k^2 + 2k + 1 - k - 1 + 2 = k^2 + k + 2$

$2k^2 - 2k + 4 - (k^2 + k + 2) = k^2 - 3k + 2 = (k-1)(k-2)$

$k \ge 3$ のとき、$k^2 - 3k + 2 > 0$ となり、

$2k^2 - 2k + 4 \ge k^2 + k + 2$ となる。

よって、$2^{k+1} \ge k^2 + k + 2 = (k+1)^2 - (k+1) + 2$

$n=2$ のとき

左辺は $2^2 = 4$

右辺は $2^2 - 2 + 2 = 4$

よって、$n=2$ のとき不等式は成り立つ。

$n=3$ のとき

左辺は $2^3 = 8$

右辺は $3^2 - 3 + 2 = 9 - 3 + 2 = 8$

よって、$n=3$ のとき不等式は成り立つ。

(i), (ii) より、任意の自然数 $n$ について、不等式

$2^n \ge n^2 - n + 2$

が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) 任意の自然数 $n$ について、等式 $1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = \frac{n^2(1+n)^2}{4}$ が成り立つ。

(2) 任意の自然数 $n$ について、不等式 $2^n \ge n^2 - n + 2$ が成り立つ。